📈 函数完全讲解
学习前必须了解
- 方程式与不等式
- 坐标平面（x轴·y轴）
1. 函数的基本概念
函数是描述两个变量之间对应关系的数学工具。对于自变量x的每个值，函数y都有唯一确定的值与之对应。
- 自变量（x）：输入值，定义域中的值
- 函数值（y）：输出值，值域中的值
- 写法：y = f(x)
2. 正比例函数
\[ y = kx \quad (k \neq 0) \]
- 图像是过原点的直线
- k > 0：从左下到右上（递增）
- k < 0：从左上到右下（递减）
- |k| 越大，直线越陡
3. 一次函数 高考
\[ y = kx + b \quad (k \neq 0) \]
- k（斜率）：直线的倾斜程度，k = Δy/Δx
- b（截距）：直线与y轴的交点（0, b）
- k > 0，b > 0：第一、二、三象限
- k < 0，b > 0：第一、二、四象限
例题：已知一次函数过 (1, 3) 和 (3, 7)，求函数解析式
斜率：k = (7 - 3) / (3 - 1) = 4/2 = 2
代入 (1, 3)：3 = 2 × 1 + b，b = 1
答：y = 2x + 1
4. 二次函数 高考
\[ y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \]
- 图像是抛物线，开口方向由a决定：a > 0开口向上，a < 0开口向下
- 顶点坐标：\(\left(-\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\)
- 对称轴：\(x = -\dfrac{b}{2a}\)
- 顶点式：\(y = a(x - h)^2 + k\)，顶点为 (h, k)
例题：求 y = 2x² - 4x + 3 的顶点和对称轴
对称轴：x = -(-4)/(2×2) = 4/4 = 1
顶点y值：y = 2(1)² - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1
答：顶点 (1, 1)，对称轴 x = 1
5. 练习题
- 写出过 (0, 0) 和 (2, 6) 的正比例函数解析式
- 一次函数 y = -2x + 4 的斜率和y轴截距各是多少？
- 求 y = x² - 6x + 5 的顶点坐标
答案
- k = 6/2 = 3，y = 3x
- 斜率 k = -2，y轴截距 b = 4，与y轴交于 (0, 4)
- 对称轴 x = 3，顶点y = 9 - 18 + 5 = -4，顶点 (3, -4)
考前5分钟检查清单
- 定义域·值域·陪域的区分（值域⊆陪域）
- 复合函数(f∘g)(x)=f(g(x)) 注意顺序
- 反函数存在条件：一一对应函数
- 用竖线测试判断是否为函数
艾宾浩斯遗忘曲线复习建议
通过间隔重复，将刚学的内容牢固地存入长期记忆。
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