📈 함수 완벽 정리
함수 개념은 라이프니츠가 곡선 위의 점 관계를 기술하면서 1694년 처음 명명되었습니다. 이후 오일러가 f(x) 표기법을 도입하며 현대적 의미의 함수가 완성되었고, 변화하는 세계를 수식으로 포착하는 핵심 도구가 되었습니다.
- 정의역·공역·치역·함수값의 개념을 구분하고 설명할 수 있다
- 일차함수의 기울기와 y절편을 구하고 그래프를 그릴 수 있다
- 이차함수의 꼭짓점 좌표와 축 방정식을 구할 수 있다
- 역함수를 구하고 역함수 그래프의 대칭성을 설명할 수 있다
함수는 "두 양 사이의 규칙적인 관계"를 표현하는 수학의 기본 언어입니다. 시간과 속도, 투자와 수익, 인구와 식량 — 세상의 거의 모든 관계는 함수로 모델링됩니다. 일차함수(직선)는 경제학의 수요·공급 곡선의 기초이고, 이차함수(포물선)는 물체의 운동 궤적을 설명합니다. 함수를 이해하면 방정식·미적분·통계 모두를 하나의 언어로 연결할 수 있습니다.
자판기에 동전을 넣으면(입력 x) 음료가 나온다(출력 y). 핵심: 같은 버튼을 누르면 항상 같은 음료가 나온다 — 이것이 함수의 정의(한 x에 대해 하나의 y). 단, 역함수는 "음료를 보고 어떤 버튼인지 알 수 있나?"를 묻는다.
- 함수: X의 각 원소에 Y의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙 \(y = f(x)\)
- 일차함수: \(y = ax + b\) — 기울기 \(a\), y절편 \(b\), 그래프는 직선
- 이차함수: \(y = a(x-p)^2 + q\) — 꼭짓점 \((p, q)\), 그래프는 포물선
- 역함수: \(f^{-1}\)는 \(f\)의 입출력을 뒤바꾼 함수. 그래프는 \(y=x\)에 대해 대칭
- 합성함수: \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) — 함수를 겹쳐 적용
- 출제 빈도: 매년 2~4문항 (수학Ⅰ·Ⅱ 포함 전 범위에 걸쳐 등장)
- 핵심 유형: 역함수 존재 조건, 합성함수 값 계산, 이차함수 최댓값·최솟값
- 자주 출제되는 함정: "정의역을 제한했을 때 역함수 존재 여부" 판단 — 단조성 확인 필수
역함수가 존재하지 않는 경우가 있는 이유는 무엇인가요?
함수는 입력 하나에 출력 하나가 대응하지만, 출력 하나에 여러 입력이 가능합니다. y = x²에서 y = 4는 x = 2와 x = −2 모두 가능합니다. 이를 뒤집으면 하나의 입력에 두 출력이 생겨 함수 정의에 어긋나기 때문입니다.
1. 함수의 정의 [12수I01-01]
함수는 입력마다 출력이 딱 하나인 관계 — "하나의 x에 하나의 y"가 함수의 유일한 정의다.
함수(function) 개념은 17세기 라이프니츠(Leibniz)가 미적분 연구 중 도입했습니다. 당시 "변수 사이의 규칙적인 관계"를 표현할 언어가 없었는데, 라이프니츠가 functio(라틴어 "수행")라는 단어를 수학에 처음 적용했습니다. 현재의 \(f(x)\) 표기는 오일러(Euler, 1748)가 도입한 것입니다.
함수(函數, function)는 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙입니다.
- 정의역(Domain, X): 입력값의 집합
- 공역(Codomain, Y): 출력값이 될 수 있는 집합
- 치역(Range): 실제 출력값들의 집합 (공역의 부분집합)
- f(x): x에 대응하는 y의 값 (함수값)
다음 중 함수인 것은? ① x² + y² = 1 (원) ② y = x² ③ y = ±√x
▶ 정답 확인
2. 일차함수 [09수학03-01]
역함수는 x와 y를 맞바꾼 것 — y=f(x)의 역함수는 x=f(y)를 y에 대해 푼 것이다.
일차함수는 \(x\)에 대한 일차식으로 표현되는 함수입니다.
- \(a\): 기울기(slope) — x가 1 증가할 때 y의 변화량
- \(b\): y절편(y-intercept) — 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표
일차함수의 그래프: 직선
- \(a > 0\): 우상향(오른쪽 위 방향) 직선
- \(a < 0\): 우하향(오른쪽 아래 방향) 직선
- \(|a|\)가 클수록 기울기가 가파릅니다.
기울기 계산
절편
y절편: \(x = 0\) 대입 → \(y = 2(0) - 4 = -4\) → y절편: −4
\(y = 2x + b\)에 (1, 3) 대입: \(3 = 2(1) + b\) → \(b = 1\)
∴ \(y = 2x + 1\)
기울기 \(a < 0\)이면 항상 감소한다? — 맞습니다만, 기울기 부호만 보고 "함수값이 음수"라고 착각하는 경우가 많습니다. 기울기 \(a\)는 y의 변화 방향을 나타내는 것이고, y의 값 자체가 양수인지 음수인지는 y절편 \(b\)에 따라 다릅니다. 예) \(y = -x + 100\)은 기울기가 음수지만 x=50까지는 y > 0입니다.
\(y = 3x - 6\)의 x절편과 y절편을 구하시오.
▶ 정답 확인
y절편: x=0 대입 → \(y = -6\) → y절편: −6
3. 이차함수 [12수I01-02]
합성함수 f(g(x))는 안쪽부터 바깥쪽으로 적용 — g를 먼저, f를 나중에 씌우는 순서가 핵심이다.
이차함수는 \(x\)의 최고 차수가 2인 함수로, 그래프가 포물선 모양입니다.
표준형 (꼭짓점형)
꼭짓점: \((p, q)\), 대칭축: \(x = p\)
- \(a > 0\): 아래로 볼록(위로 열림) — 꼭짓점에서 최솟값
- \(a < 0\): 위로 볼록(아래로 열림) — 꼭짓점에서 최댓값
- \(|a|\)가 클수록 포물선이 좁아짐
- 대칭축: \(x = -\dfrac{b}{2a}\)
- 꼭짓점 x좌표: \(x = -\dfrac{b}{2a}\)
꼭짓점 y좌표: \(y = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 8 - 16 + 6 = -2\)
∴ 꼭짓점: (2, −2), 대칭축: x = 2
표준형으로 변환: \(y = 2(x-2)^2 - 2\)
이차함수의 최대·최솟값
\(y = -(x^2 - 4x) - 3\)
\(y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3\)
\(y = -(x-2)^2 + 4 - 3 = -(x-2)^2 + 1\)
\(a = -1 < 0\)이므로 최댓값 존재
최댓값: 1 (x = 2일 때)
4. 역함수 [12수I01-03]
지수함수와 로그함수는 서로의 역함수 — y=aˣ의 역함수가 y=log_a(x)다.
함수 \(f\)가 일대일 대응일 때, \(f(x) = y\)의 x와 y를 맞바꾼 함수를 역함수 \(f^{-1}\)라 합니다.
- \(y = f(x)\)로 놓는다.
- \(x\)에 대해 풀어 \(x = g(y)\) 형태로 만든다.
- \(x\)와 \(y\)를 교환: \(y = g(x)\)
- \(f^{-1}(x) = g(x)\)
\(3x = y + 2\)
\(x = \dfrac{y+2}{3}\)
x와 y 교환:
\(f^{-1}(x) = \dfrac{x+2}{3}\)
참고: \(f(f^{-1}(x)) = x\) 이고 \(f^{-1}(f(x)) = x\)입니다.
5. 합성함수 [12수I01-04]
두 함수 \(f\)와 \(g\)가 있을 때, \(g\)의 출력을 \(f\)의 입력으로 사용하는 새로운 함수를 합성함수라 합니다.
\(f(g(3)) = f(9) = 2(9) + 1 = 19\)
\((f \circ g)(3) = 19\)
역함수 구하는 순서: y = f(x) → x에 대해 풀기 → x, y 교환
합성함수 방향: \((f \circ g)(x)\)는 g를 먼저, f를 나중에 — "오른쪽에서 왼쪽"으로 읽는다.
이차함수 꼭짓점: 대칭축 \(x = -\dfrac{b}{2a}\) → 이 x값을 다시 대입해 y값 계산
- 역함수 구하기
- 합성함수 계산
- 그래프 이동·대칭
- 최대·최솟값
역함수 존재 조건(일대일 대응)을 확인하지 않고 계산하거나, 그래프 이동 방향을 반대로 해석하는 오류가 많습니다.
직접 풀어봐야 기억에 남습니다. 먼저 스스로 풀어보고, 정답을 확인하세요.
6. 연습 문제
Q1. 두 점 (2, 1)과 (4, 7)을 지나는 일차함수를 구하시오.
▶ 정답 확인
Q2. \(y = x^2 - 6x + 11\)을 표준형으로 변환하고, 꼭짓점을 구하시오.
▶ 정답 확인
완전제곱식: \(x^2-6x = (x-3)^2 - 9\) → \(y = (x-3)^2 - 9 + 11\)
Q3. \(f(x) = 4x - 3\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)를 구하시오.
▶ 정답 확인
Q4. \(f(x) = x + 2\), \(g(x) = 3x - 1\)일 때, \((g \circ f)(2)\)를 구하시오.
▶ 정답 확인
Q5. \(y = -2x^2 + 8x - 5\)의 최댓값을 구하시오.
▶ 정답 확인
\(a = -2 < 0\)이므로 꼭짓점에서 최댓값 → 최댓값: 3 (x=2)
이차함수의 그래프인 포물선은 어떤 도형일까? 함수와 도형은 어떻게 연결될까?
함수의 식을 좌표계에 그리면 도형이 된다. 직선·포물선·원 모두 함수나 방정식으로 표현된다. 다음 단원에서 이 관계를 체계적으로 탐구한다.
도형으로 이동함수는 수학 전체를 관통하는 언어입니다. 함수를 이해한 순간부터 도형·미적분·삼각함수 모두가 하나의 맥락으로 연결됩니다.
- 정의역·치역·공역 구분: 치역 ⊆ 공역
- 합성함수 (f∘g)(x) = f(g(x)) — 순서 주의
- 역함수 존재 조건: 일대일 함수(단조 증가 또는 감소)
- 그래프에서 함수 여부: 수직선 검사
방금 배운 내용을 오래 기억하려면 간격을 두고 복습하세요.
함수 = 입력→처리→출력 기계: f(x) = 2x+1은 어떤 수 x를 넣으면 2를 곱하고 1을 더해서 내보내는 기계. 핵심: 하나의 입력에는 반드시 하나의 출력만. 두 개 출력이 나오면 함수가 아닙니다.
1f(x) = 2x - 3일 때, f(5)를 구하세요.
정답 보기
f(5) = 2(5) - 3 = 7
2y = -x + 4의 그래프를 그리고 기울기와 y절편을 말하세요.
정답 보기
기울기: -1, y절편: 4. (0,4)와 (4,0)을 지나는 직선
3{(1,2),(2,4),(3,4),(2,5)}가 함수인지 판단하고 이유를 설명하세요.
정답 보기
함수 아님. 입력 2에 출력 4와 5 두 개가 대응되기 때문
- 기상 예보관: 시간(입력)에 따른 기온(출력)이 정확히 함수 관계입니다
- 프로그래머: 코드의 function이 수학 함수와 동일 개념 — 입력 처리 출력
- 경제학자: 수요 함수 Q=f(P) — 가격 변화에 따른 수요량 예측에 함수를 씁니다
y=mx+b에서 m이 기울기, b가 y절편. 직선 그래프는 두 점만 있으면 그릴 수 있습니다.
- 일대다 관계는 함수가 아님: 하나의 x에 여러 y가 대응되면 함수 정의에 어긋납니다 (수직선 검사 활용).
- 정의역 주의: 로그함수·루트함수는 음수·0 입력이 불가하며, 정의역을 반드시 확인해야 합니다.
- 역함수 존재 조건: 일대일 함수(단사함수)만 역함수를 가집니다. f(x)=x²은 전체 실수에서 역함수가 없습니다.