교육과정 2022 개정 고등학교 수학Ⅰ · 삼각함수 수학 · 삼각함수

📐 삼각함수 완벽 정리

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📚 고등 수학 (수학Ⅰ) 🎯 핵심 개념: sin·cos·tan, 덧셈정리, 사인·코사인 법칙 📋 수학Ⅰ · 2022 개정 교육과정 🎯 수능 매년 출제 (4~5문항)
2022 개정 · 수학 검토: 2026.04 오류 신고
탄생 배경

삼각함수는 별의 위치를 추적하던 천문학자들이 고안했습니다. 기원전 2세기 히파르코스는 최초의 삼각함수표를 만들었고, 인도 수학자들이 사인·코사인 개념을 완성해 항해와 측량에 혁명을 일으켰습니다.

개념 여정 도형·각도 › 함수 › 삼각함수 › 미적분 › 물리학·공학
🔑
선행 학습 필요
도형 — 각도·피타고라스 · 함수의 정의·그래프 · 방정식·부등식
피타고라스 정리와 함수의 정의역·치역 개념을 완벽히 이해한 후 이 단원을 시작하세요. 선행 없이 공식만 암기하면 덧셈정리·사인 법칙에서 막힙니다.
📌 이 단원을 마치면
🌱 왜 삼각함수를 배우는가?

삼각함수는 "반복되는 진동"을 수식으로 표현하는 언어입니다. 소리(음파), 빛(전자기파), 교류 전기, 지진파, 조수 — 자연의 모든 파동 현상이 \(\sin\)과 \(\cos\)으로 기술됩니다. 건물·교량 설계(하중 분산), 항법(GPS 삼각측량), 컴퓨터 그래픽스(3D 회전), 신호처리(푸리에 변환)까지 — 삼각함수 없이는 현대 공학·물리학이 성립하지 않습니다. 수능에서도 매년 4~5문항이 출제되는 핵심 단원입니다.

💡 이걸로 이해하면 됩니다
삼각함수 = 회전하는 물체의 좌표

원 위의 점이 회전할 때 그 x좌표가 cosine, y좌표가 sine이다. sin과 cos는 진동이다 — 시계추처럼 왔다갔다. 이 단순한 패턴이 음악(파동), 전기(교류), 빛(빛의 진동)의 언어가 된다.

⚡ 핵심 30초 요약
📊 수능 출제 포인트
학습자 질문

삼각함수가 각도뿐만 아니라 파동에도 쓰이는 이유는 무엇인가요?

sin과 cos은 단위원 위에서 점이 이동할 때의 좌표입니다. 원은 회전하고, 회전은 반복되며, 반복은 곧 주기성입니다. 파동은 주기적 진동이므로, 삼각함수는 자연스럽게 파동을 표현하는 언어가 됩니다.

1. 삼각함수의 정의 (직각삼각형) [12수I02-01]

핵심 원리

삼각함수는 각도를 좌표로 변환하는 함수 — sin은 y좌표, cos은 x좌표, 이것이 전부다.

🏛️ 개념의 탄생

삼각함수는 고대 이집트·바빌로니아 천문학에서 시작됐습니다. 기원전 150년경 히파르코스(Hipparchus)가 천체 관측을 위해 최초의 삼각함수표(현의 표)를 만들었습니다. 인도 수학자 아리야바타(Aryabhata, 499년)가 오늘날의 sine 개념을 정립했고, 아랍 수학자를 거쳐 16~17세기 유럽에 전파되며 코사인·탄젠트 기호가 확립되었습니다.

🧠 기호 없이 직관으로

삼각함수 = 원 위를 걸어다닐 때의 좌표. 반지름 1인 원에서 각도 θ만큼 회전한 점의 x좌표가 cosθ, y좌표가 sinθ입니다. 직각삼각형에서 외우는 것보다 "단위원 위의 점"으로 이해하면 모든 삼각함수 공식이 자연스럽게 연결됩니다.

직각삼각형에서 각 \(\theta\)에 대해 삼각비를 정의합니다.

삼각비 정의 \[ \sin\theta = \frac{\text{대변(맞은편 변)}}{\text{빗변}} \] \[ \cos\theta = \frac{\text{밑변(인접한 변)}}{\text{빗변}} \] \[ \tan\theta = \frac{\text{대변}}{\text{밑변}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]

주요 각도의 삼각함수 값

각도 \(\theta\) 라디안 \(\sin\theta\) \(\cos\theta\) \(\tan\theta\)
0° 0 0 1 0
30° \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
45° \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 1
60° \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\)
90° \(\dfrac{\pi}{2}\) 1 0 정의 안됨
180° \(\pi\) 0 −1 0
🔎 이 공식은 어디서 왔나?
삼각비에서 삼각함수로 확장된 이유
처음엔 직각삼각형에서만 정의: sin θ = 대변/빗변 (θ는 0°~90°)
문제: 90° 이상인 각도나 음수 각도는?
해결: 단위원(반지름=1) 위의 점 P(x,y)를 이용
sin θ = y좌표, cos θ = x좌표 → 모든 실수 각도로 확장됨
이제 삼각함수는 "각도의 함수"가 아니라 "진동의 함수"가 됨
sin·cos·tan 암기팁"sin = 높이/빗변, cos = 밑변/빗변, tan = 높이/밑변" — 분자는 sin이 대변, cos이 인접변. tan = sin÷cos
특수각 값 암기팁sin 0°→90°: 0, ½, √2/2, √3/2, 1 — 분자가 √0, √1, √2, √3, √4를 2로 나눈 것. cos는 거꾸로!
✏️ 바로 확인 — 특수각

문제: sin 60° × cos 30°의 값은?

정답 확인하기
\(\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) → \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3}{4}\)

2. 단위원과 삼각함수

핵심 원리

삼각함수 항등식은 유도하는 것이지 외우는 것이 아니다 — 단위원 위의 좌표 관계에서 모든 항등식이 나온다.

반지름이 1인 원(단위원)을 이용해 삼각함수를 모든 각도로 확장할 수 있습니다.

단위원에서의 정의

단위원 위의 점 \(P(x, y)\)와 x축 사이의 각이 \(\theta\)일 때:

\[ \cos\theta = x, \quad \sin\theta = y, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \]

피타고라스 항등식

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]

이로부터 다음을 유도할 수 있습니다:

\[ \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta \qquad (1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta) \]

사분면에서의 부호

사분면sincostan
제1사분면 (0° ~ 90°)+++
제2사분면 (90° ~ 180°)+−−
제3사분면 (180° ~ 270°)−−+
제4사분면 (270° ~ 360°)−+−

3. 삼각함수의 그래프

핵심 원리

사인 법칙과 코사인 법칙은 직각이 없는 삼각형을 다루기 위한 일반화 — 피타고라스 정리의 확장판이다.

\(y = \sin x\)

\(y = \cos x\)

\(y = \tan x\)

일반적인 삼각함수 \(y = A\sin(Bx + C) + D\)

4. 삼각함수의 주요 공식 [12수I02-03]

피타고라스 항등식 (재확인)

\[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \]

덧셈정리

\begin{align} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\[0.5em] \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\[0.5em] \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \end{align}
예제: \(\sin 75°\) 계산하기
\(\sin 75° = \sin(45° + 30°)\)
\(= \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
❌ 흔한 실수 — 덧셈정리
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta\) \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
삼각함수는 분배법칙이 성립하지 않습니다. \(\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B\). 예를 들어 \(\sin(30°+60°)=\sin 90°=1\)이지만, \(\sin 30°+\sin 60°=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 1\). 덧셈정리 공식을 반드시 외워야 합니다.

배각 공식

\begin{align} \sin 2\theta &= 2\sin\theta\cos\theta \\[0.5em] \cos 2\theta &= \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta \\[0.5em] \tan 2\theta &= \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \end{align}

반각 공식

\begin{align} \sin^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 - \cos\theta}{2} \\[0.5em] \cos^2\frac{\theta}{2} &= \frac{1 + \cos\theta}{2} \end{align}
⚠️ 수능·내신 자주 틀리는 포인트

5. 사인 법칙과 코사인 법칙

삼각형 ABC에서 변 a, b, c는 각 A, B, C의 대변(맞은편 변)이고, R은 외접원의 반지름입니다.

사인 법칙

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

두 각과 한 변을 알 때, 또는 외접원의 반지름을 구할 때 사용합니다.

예제: A = 30°, B = 45°, c = 6일 때 a 구하기
C = 180° − 30° − 45° = 105°
사인법칙: \(\dfrac{a}{\sin 30°} = \dfrac{6}{\sin 105°}\)
\(a = \dfrac{6\sin 30°}{\sin 105°} = \dfrac{6 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{3 \times 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \dfrac{12}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

코사인 법칙

\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\[0.5em] b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac\cos B \\[0.5em] c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C \end{align}

두 변과 끼인각, 또는 세 변을 알 때 사용합니다.

예제: a = 5, b = 7, C = 60°일 때 c 구하기
\(c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°\)
\(= 25 + 49 - 70 \times \dfrac{1}{2}\)
\(= 74 - 35 = 39\)
\(c = \sqrt{39}\)
출제 패턴 ★★★★☆
  • 삼각함수 그래프 변환
  • 사인·코사인 법칙
  • 삼각함수 방정식
  • 직각삼각형 응용

sin, cos 값의 부호를 사분면별로 혼동하거나, 라디안(π)과 도(°) 단위를 섞어 계산하는 오류가 빈출입니다.

핵심 연습

직접 풀어봐야 기억에 남습니다. 먼저 스스로 풀어보고, 정답을 확인하세요.

6. 연습 문제

  1. ⭐ 기초 \(\sin 30° \times \cos 60° + \cos 30° \times \sin 60°\)를 계산하시오.
    정답 보기
    \(\sin(30°+60°) = \sin 90° = \mathbf{1}\) (덧셈정리 역이용)
  2. ⭐⭐ 표준 \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) (단, \(0° < \theta < 90°\))일 때, \(\cos\theta\)와 \(\tan\theta\)를 구하시오.
    정답 보기
    \(\cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) → \(\cos\theta = \dfrac{4}{5}\)  ·  \(\tan\theta = \dfrac{3/5}{4/5} = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\)
  3. ⭐⭐ 표준 배각 공식을 이용하여 \(\cos 2\theta\)를 \(\sin\theta\)만으로 나타내시오.
    정답 보기
    \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\)
  4. ⭐⭐ 표준 삼각형 ABC에서 a = 8, b = 6, C = 90°일 때, c와 \(\cos A\)를 구하시오.
    정답 보기
    \(c = \sqrt{8^2+6^2} = 10\)  ·  \(\cos A = \dfrac{6^2+10^2-8^2}{2\cdot6\cdot10} = \dfrac{72}{120} = \mathbf{\dfrac{3}{5}}\)
  5. ⭐⭐⭐ 심화 \(\cos 120°\)의 값을 덧셈정리를 이용하여 구하시오.
    정답 보기
    \(\cos(90°+30°) = -\sin 30° = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\)
🔓 이 개념을 마스터하면 해금됩니다
물리학(파동·진동) — 소리·빛·전자기파 분석 삼각함수 미분 — sin x 도함수·파형 분석

삼각함수는 파동·진동·회전의 언어입니다. 수학 시리즈의 마지막 단원을 마스터한 지금, 물리·공학·음악 이론 전 분야가 열립니다.

수학 전 단원 완료!

삼각함수까지 수학 시리즈 12개 단원을 모두 마쳤습니다. 배운 개념들이 물리·공학에서 어떻게 사용되는지 과학 단원에서 직접 확인해보세요.

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물리학 — 과학 1단원
뉴턴의 운동 법칙과 에너지 보존, 삼각함수가 물리에 직접 등장
중급 ⏱ 약 25분
시험 직전 5분 체크리스트
sin쨌cos쨌tan ?붽린??/span>"sin = ?믪씠/鍮쀫?, cos = 諛묐?/鍮쀫?, tan = ?믪씠/諛묐?" ??遺꾩옄??sin???€蹂€, cos???몄젒蹂€. tan = sin첨cos
🧠
에빙하우스 복습 권장

방금 배운 내용을 오래 기억하려면 간격을 두고 복습하세요.

내일 3일 후 7일 후 30일 후
⚠ 흔한 실수

삼각함수 값의 부호 착각 — 2사분면에서 sin은 양수, cos은 음수입니다. 각도 값만 보고 sin 30°와 sin 150°가 같다는 점을 놓치거나, cos의 부호를 틀리는 실수가 많습니다. 단위원 위에서 좌표로 직접 확인하는 습관을 들이세요.

암기법 두문자어

SOH-CAH-TOA: sin = 반대변/빗변, cos = 밑변/빗변, tan = 반대변/밑변. 단위원에서 각도를 돌리면 sin·cos 값이 파동처럼 반복됩니다 — 삼각함수가 파동의 언어인 이유입니다.

자가진단
연습 문제

1sin30°, cos60°, tan45°의 값을 구하세요.

정답 보기

sin30° = 1/2, cos60° = 1/2, tan45° = 1

2직각삼각형에서 빗변이 10, 한 예각이 30°일 때 대변의 길이를 구하세요.

정답 보기

대변 = 10 × sin30° = 10 × 0.5 = 5

3cos²θ + sin²θ = 1임을 피타고라스 정리로 설명하세요.

정답 보기

단위원에서 직각삼각형의 밑변²+높이² = 1² → cos²θ + sin²θ = 1

실생활
시험 팁

SOH-CAH-TOA를 먼저 적은 뒤 주어진 것과 구하는 것을 확인하세요. sin²θ + cos²θ = 1은 기반 항등식.

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이 질문, 지금 답할 수 있나요?

삼각함수로 표현되는 파동 데이터는 어떻게 분석하고 활용할까요?

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