🔤 방정식 완벽 정리
방정식은 미지의 양을 구하는 실용 문제에서 출발했습니다. 9세기 아랍 수학자 알콰리즈미는 『알자브르』에서 방정식을 체계화했고, '대수학(algebra)'이라는 단어 자체가 이 책 제목에서 유래했습니다.
- 이항을 이용해 일차방정식의 해를 구할 수 있다
- 가감법·대입법으로 연립방정식을 풀 수 있다
- 이차방정식을 인수분해 또는 근의 공식으로 풀 수 있다
- 판별식(D)으로 근의 개수를 미리 판단할 수 있다
방정식은 "모르는 수를 찾는" 수학의 핵심 도구입니다. 물건 가격, 두 기차의 만남, 최적 생산량 — 현실의 수많은 문제는 미지수가 있는 조건으로 표현됩니다. 방정식은 그 조건을 수식으로 쓰고 미지수를 구하는 언어입니다. 이후 배울 함수·삼각함수·미적분은 모두 방정식 풀이 위에서 성립하며, 이차방정식의 근의 공식은 대학 수학·공학·경제학 전반에서 반복적으로 등장합니다.
양팔 저울에서 왼쪽과 오른쪽이 균형을 이룬다. 양쪽에 같은 것을 더하거나 빼거나 곱해도 균형은 유지된다. 이항은 한쪽 물건을 반대편 저울로 옮기되, 부호(+/-)를 뒤집는 것이다 — 저울을 기울이지 않으려면 반대편에 넣을 때 "마이너스"로 변환해야 한다.
- 방정식: 미지수가 있는 등식 — 참이 되게 하는 값이 해(근)
- 일차방정식: \(ax + b = 0\) → 이항하여 \(x = -b/a\)
- 연립방정식: 미지수 2개 · 방정식 2개 → 가감법 또는 대입법
- 이차방정식: \(ax^2 + bx + c = 0\) → 인수분해 또는 근의 공식
- 판별식 \(D = b^2 - 4ac\): \(D>0\) 실근 2개, \(D=0\) 중근, \(D<0\) 허근
방정식과 항등식은 어떻게 다른가요?
방정식은 특정 x값에서만 성립하는 조건부 등식입니다. x + 1 = 5는 x = 4일 때만 참. 항등식은 어떤 x를 넣어도 성립합니다 — 2(x+1) = 2x+2는 항상 참. 참이 되는 x의 범위가 핵심 차이입니다.
1. 방정식이란?
방정식은 "등호의 양쪽이 같다"는 조건 — 미지수 x가 그 조건을 만족시키는 특정 값이다.
방정식(方程式)은 미지수(변수)를 포함한 등식으로, 특정 값에서만 참이 됩니다. 방정식을 만족시키는 값을 해(解) 또는 근(根)이라 하고, 해를 구하는 과정을 방정식을 푼다고 합니다.
- 방정식: 특정 값에서만 성립 → 예: \(x + 3 = 7\) (해: \(x = 4\)일 때만 성립)
- 항등식: 모든 값에서 성립 → 예: \(2(x+1) = 2x + 2\) (x에 어떤 수를 대입해도 성립)
2. 일차방정식 [09수02-04]
인수분해는 곱셈의 역연산 — 0이 되는 조건을 찾으면 해가 보인다는 원리가 핵심.
미지수의 최고 차수가 1인 방정식입니다.
이항(移項)
등호의 한쪽에 있는 항을 부호를 바꾸어 반대쪽으로 옮기는 것을 이항이라 합니다.
원리: 등호 양변에 같은 수를 더하거나 빼어도 등식이 성립합니다.
① 양변을 a로 나눔: x²+(b/a)x+c/a=0
② 완전제곱식으로 변환: (x+b/2a)²= b²/4a²−c/a
③ 오른쪽 통분: (b²−4ac)/4a²
④ 제곱근 취함: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a — 이것이 근의 공식
- 상수 이항우변에 있는 상수 5를 좌변으로: 3x = 14 − 5 = 9
- 계수로 나누기양변을 계수 3으로 나눔: x = 9 ÷ 3
- 해 계산x = 3
- 검산3(3) + 5 = 9 + 5 = 14 ✓
문제: 2x − 3 = 9를 풀어 x를 구하시오.
정답 확인하기
2x − 3x = 1 + 7 (미지수 항은 좌변, 상수 항은 우변으로 이항)
−x = 8
x = −8
5x − 3x = 4 + 10
2x = 14
x = 7
3. 연립일차방정식
판별식 D=b²−4ac는 근이 존재하는지, 몇 개인지를 면적 없이 판단하는 도구다.
두 개의 미지수(x, y)를 포함한 두 일차방정식의 쌍입니다. 두 방정식을 동시에 만족하는 \((x, y)\)를 구합니다.
가감법 (덧셈/뺄셈법)
두 방정식을 더하거나 빼서 미지수를 하나 소거합니다.
3x = 6 → x = 2
x = 2를 두 번째 식에 대입: 2 − y = 1 → y = 1
해: \((x, y) = (2, 1)\)
검산: 2(2)+1=5 ✓, 2−1=1 ✓
대입법
한 방정식에서 한 미지수를 다른 미지수로 표현하여 다른 방정식에 대입합니다.
3x + 2(2x − 1) = 13
3x + 4x − 2 = 13
7x = 15 → x = 15/7... (정수해 없음)
다시 정수해 예제: \(\begin{cases} y = x + 3 \\ 2x + y = 9 \end{cases}\)
대입: 2x + (x + 3) = 9 → 3x = 6 → x = 2, y = 5
4. 이차방정식 [09수02-06]
연립방정식의 해는 두 직선(또는 곡면)의 교점 — 그래프 직관이 대수 계산보다 먼저다.
미지수의 최고 차수가 2인 방정식입니다.
인수분해를 이용한 풀이
\(AB = 0\)이면 \(A = 0\) 또는 \(B = 0\)임을 이용합니다.
\(x + 2 = 0\) 또는 \(x - 3 = 0\)
\(x = -2\) 또는 \(x = 3\)
근의 공식
인수분해가 되지 않는 경우 근의 공식을 사용합니다.
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \dfrac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \dfrac{5 \pm 3}{4}\)
\(x = \dfrac{5+3}{4} = 2\) 또는 \(x = \dfrac{5-3}{4} = \dfrac{1}{2}\)
∴ \(x = 2\) 또는 \(x = \dfrac{1}{2}\)
- 두 수의 합 = b, 곱 = c인 수를 찾는다
- 계산이 빠르고 간단
- 정수 범위에서 인수가 있을 때 사용
- a, b, c를 대입해 계산
- 항상 사용 가능하지만 계산량 많음
- 인수분해가 안 될 때 필수
판별식 D
- \(D > 0\): 서로 다른 두 실근
- \(D = 0\): 중근 (서로 같은 두 실근)
- \(D < 0\): 실근 없음 (허근)
- 이항 시 부호 바꾸는 것 잊기 — \(3x + 5 = 14\)에서 5를 이항하면 반드시 \(-5\). "이항 = 부호 반전"
- 양변에 음수 곱할 때 부등호 방향 — 방정식은 괜찮지만 부등식은 음수 곱하면 부등호 방향 바뀜
- 0으로 나누는 실수 — 이차방정식 \(ax^2 + bx = 0\) 풀 때 양변을 x로 나누면 x=0 해를 잃음
5. 방정식의 활용
부등식은 방정식과 달리 범위가 해 — 등호 포함 여부와 부호 변환 두 가지 원칙이 전부다.
문장제 문제를 방정식으로 풀 때의 순서입니다.
- 구하는 것을 미지수 \(x\)로 놓습니다.
- 조건을 방정식으로 세웁니다.
- 방정식을 풉니다.
- 답이 문제의 조건(자연수, 양수 등)에 맞는지 확인합니다.
3x − 7 = 20
3x = 27
x = 9
- 이항 시 부호 오류
- 미지수 정리
- 연립방정식
- 이차방정식 판별식
이항 시 부호를 반전하지 않는 것이 가장 빈번한 1점 감점 원인입니다. 이항한 항은 반드시 부호가 바뀝니다.
직접 풀어봐야 기억에 남습니다. 먼저 스스로 풀어보고, 정답을 확인하세요.
6. 연습 문제
-
⭐ 기초
\(4x - 9 = 11\)을 풀어라.
정답 보기
\(4x = 20\) → \(x = 5\) -
⭐⭐ 표준
\(\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 2x - y = 6 \end{cases}\)을 풀어라.
정답 보기
② ×2 → \(4x-2y=12\). ①+: \(5x=20\) → \(x=4\), \(y=2\) ∴ (4, 2) -
⭐⭐ 표준
\(x^2 + x - 12 = 0\)을 인수분해로 풀어라.
정답 보기
\((x+4)(x-3)=0\) → \(x=-4\) 또는 \(x=3\) -
⭐⭐ 표준
근의 공식을 이용하여 \(x^2 - 4x + 1 = 0\)을 풀어라.
정답 보기
\(x = \dfrac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \mathbf{2 \pm \sqrt{3}}\) -
⭐⭐⭐ 심화
연속하는 두 자연수의 합이 31입니다. 두 수를 구하시오.
정답 보기
두 수를 \(n, n+1\)로 놓으면 \(2n+1=31\) → \(n=15\) ∴ 15와 16
- 이항할 때 부호가 반대로 바뀜을 확인
- 이차방정식 근의 공식: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
- 판별식 D = b²−4ac: D>0 서로 다른 두 실근, D=0 중근, D<0 허근
- 인수분해 가능 여부 먼저 확인 — 가능하면 공식보다 빠름
방금 배운 내용을 오래 기억하려면 간격을 두고 복습하세요.
양변 제곱 시 생기는 가짜 근 무시 — √(x−1) = x−3을 양변 제곱하면 원래 방정식에 없던 해가 나타날 수 있습니다. 반드시 구한 해를 원래 방정식에 대입해 검산해야 합니다. 가짜 근(무연근)을 답으로 쓰면 오답입니다.
방정식 = 저울: 등호(=)는 저울이 수평인 상태. 한쪽에 뭔가 더하거나 빼면 반드시 반대쪽에도 같은 것을 해야 수평이 유지됩니다. x를 왼쪽에 혼자 두려면 양쪽에서 같은 작업만 하면 됩니다.
- 물리학자: F=ma에서 a를 구하려면 a=F/m — 미지수 분리가 방정식의 핵심입니다
- 프로그래머: 변수 선언과 할당이 방정식 풀기와 같은 사고 구조입니다
- 경제학자: 손익분기점 계산 수익=비용 — 이 방정식을 풀어야 사업 전략이 나옵니다
이항할 때 부호를 반드시 바꿉니다. +3이 넘어가면 -3. 계수로 나눌 때 양변 모두 나눠야 합니다.
- 제곱근 처리: 양변을 제곱하면 무관한 근(extraneous solution)이 생길 수 있으므로 검산이 필수입니다.
- 분모가 0인 경우: 분수 방정식에서는 분모를 0으로 만드는 값이 해가 될 수 없습니다.
- 고차 방정식: 5차 이상의 일반 방정식은 근의 공식이 존재하지 않음이 증명되어 있습니다(아벨-루피니 정리).
1일차방정식을 풀어보세요: 3x − 7 = 14
정답 보기
3x = 21 → x = 7. 검산: 3(7)−7=14 ✓
2연립방정식을 가감법으로 풀어보세요: x+y=5, 2x−y=4
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두 식을 더하면 3x=9 → x=3, y=2. 정답: x=3, y=2
3이차방정식의 판별식으로 근의 종류를 판단하세요: x²−4x+5=0
정답 보기
D = (−4)²−4(1)(5) = 16−20 = −4 < 0 → 실근 없음(허근 2개)