🔢 분수 완벽 정리
분수는 토지를 균등하게 나누던 이집트 측량사들에 의해 체계화되었습니다. 기원전 1800년 이집트에서는 분자가 항상 1인 단위분수만 사용했는데, 이를 조합해 모든 분수를 표현하는 방식이 발전했습니다.
- 덧셈/뺄셈: 통분(LCM) 먼저, 분자만 계산
- 곱셈: 분자×분자, 분모×분모 (통분 불필요)
- 나눗셈: 뒤 분수를 역수로 바꿔 곱하기
- 약분 시 GCD(최대공약수)로 나누기
분모가 다른 분수를 왜 바로 더하지 못하나요?
3/4과 2/3은 단위 크기(조각 크기)가 다릅니다. 12등분 기준으로 통일하면 9/12과 8/12 — 이제 같은 크기의 조각을 셀 수 있습니다. 통분은 단위를 통일하는 과정입니다.
1. 분수의 뜻 [04수학03-01]
분수는 전체를 똑같이 몇 등분한 것 중의 일부를 나타내는 수입니다.
- 분모(b): 전체를 나눈 등분의 수 (아래쪽)
- 분자(a): 그 중 택한 부분의 수 (위쪽)
- 읽는 방법: \(\dfrac{3}{5}\) → "5분의 3"
피자 한 판을 8조각으로 자르면 한 조각은 1/8. 분수는 '전체를 같은 크기로 나눴을 때 그 중 몇 개인가'를 표현합니다.
2. 분수의 종류 [05수학03-01]
진분수 (Proper Fraction)
가분수 (Improper Fraction)
대분수 (Mixed Number)
가분수 → 대분수: \(\dfrac{11}{4} = \dfrac{8+3}{4} = 2\dfrac{3}{4}\) (11 ÷ 4 = 몫 2, 나머지 3)
3. 동치분수와 약분 [05수학03-02]
동치분수 (Equivalent Fractions)
분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누어도 분수의 값은 변하지 않습니다.
약분 (Simplification)
분자와 분모를 그들의 최대공약수(GCD)로 나누어 더 간단한 분수로 만드는 것입니다. 더 이상 약분이 안 되면 기약분수라고 합니다.
4. 통분 [06수학03-01]
분모가 다른 분수들을 같은 분모를 가지도록 변환하는 것을 통분이라고 합니다. 두 분모의 최소공배수(LCM)를 공통분모로 사용합니다.
\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}\)
\(\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{2}{12}\)
피자 한 판을 8조각으로 나눴다. 3조각을 먹었다면? 3/8을 먹은 것이다. 분모는 "몇 조각으로 나눴나", 분자는 "몇 조각을 가졌나"다. 분수 나눗셈 = 역수를 곱하는 이유: 3조각을 1/2명이 먹는다면 6조각(2배)이 필요하다는 뜻이다.
5. 분수의 덧셈과 뺄셈
분모가 같을 때 (동분모)
분모가 다를 때 (이분모)
먼저 통분한 후 계산합니다.
\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
6. 분수의 곱셈
분수의 곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱합니다.
7. 분수의 나눗셈
분수를 분수로 나눌 때는 나누는 분수의 역수를 곱합니다. 역수란 분자와 분모를 뒤집은 것입니다.
- 통분 후 덧뺄셈
- 약분 누락 오류
- 대분수↔가분수 변환
- 분수 비교
분모가 다른 분수를 통분 없이 그대로 더하거나, 계산 후 약분을 빠뜨리는 오류가 가장 흔한 실점 원인입니다.
직접 풀어봐야 기억에 남습니다. 먼저 스스로 풀어보고, 정답을 확인하세요.
8. 연습 문제
- \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = ?\)
- \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = ?\)
- \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = ?\)
- \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3} = ?\)
- \(\dfrac{24}{36}\)을 기약분수로 나타내시오.
정답 확인
- \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}\)
- \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\)
- \(\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}\)
- \(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\)
- GCD(24, 36) = 12 → \(\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\)
- 덧셈·뺄셈은 통분(분모 같게) 후 분자끼리 계산
- 곱셈: 분자×분자, 분모×분모 — 통분 불필요
- 나눗셈: 나누는 분수를 뒤집어서 곱하기
- 약분 가능하면 계산 전후로 반드시 약분
나눗셈의 정의: a ÷ b = a × (b의 역수)
(2/3)의 역수는? 분자·분모를 바꾸면 (3/2)
직관: (3/4) ÷ (2/3)은 "3/4이 2/3의 몇 배인가?" → (3/4)÷(2/3) = (3×3)/(4×2) = 9/8
- 분모가 다른 덧셈에서 분자만 더하는 오류: 1/2+1/3 ≠ 2/5. 반드시 통분 먼저 → 3/6+2/6=5/6
- 나눗셈에서 역수 취하는 방향 혼동: 2/3 ÷ 4/5 에서 4/5의 역수인 5/4를 곱해야 함. 2/3의 역수를 쓰는 실수 주의
- 약분 후 부호 오류: (-6)/(-8) = 3/4. 분자·분모 모두 음수면 양수가 됨을 잊는 경우
÷ = × (역수) — 분수를 나눌 때는 뒤 분수를 뒤집어서 곱하기. 이유: a ÷ (b/c) = a × (c/b). 통분 시 분모의 LCM(최소공배수) 사용. 약분 = GCD(최대공약수)로 나누기.
방금 배운 내용을 오래 기억하려면 간격을 두고 복습하세요.
분수를 소수로 변환하는 과정이 소수 개념의 핵심이다. 분모가 10의 거듭제곱이 되도록 통분하는 방법을 완전히 이해해야 한다.
소수분모 = 피자 조각 수: 1/3은 피자를 3조각으로 나눈 것 중 1조각. 1/4과 더하려면 크기를 맞춰야(통분) 합니다. 서로 다른 크기의 조각은 바로 더할 수 없습니다.
11/3 + 1/4를 통분해서 계산하세요.
정답 보기
LCM(3,4)=12. 4/12 + 3/12 = 7/12
23/4 × 2/5를 계산하세요.
정답 보기
(3×2)/(4×5) = 6/20 = 3/10
35/6 ÷ 2/3을 계산하세요.
정답 보기
5/6 × 3/2 = 15/12 = 5/4
- 약사: 하루 3/4정 복용 — 분수 계산 오류는 의료 사고로 직결됩니다
- 음악가: 박자 표기(4/4박자, 3/4박자)가 분수 그 자체입니다
- 목수: 인치 단위 목재 크기(1과 3/4인치) 계산에 분수가 필수입니다
통분 후 분자만 계산합니다. 곱셈은 분자x분자/분모x분모, 나눗셈은 역수로 뒤집어 곱하기.
- 분모가 0이면 무효: 분수는 분모가 0이 되는 순간 정의가 사라집니다.
- 무한 소수: 1/3 = 0.333…처럼 분수를 소수로 변환하면 무한 반복이 생기고, 반올림 오차가 발생합니다.
- 가분수와 대분수: 표기 방식이 다를 뿐 값이 같으나, 문제에 따라 어떤 형태로 답해야 하는지 주의해야 합니다.