📈 関数の完全解説
先に学ぶこと
- 方程式・不等式の理解
- 座標平面（x軸・y軸）の基礎
1. 関数とは
xの値を決めると、それに対応するyの値がただ1つ決まるとき、yはxの関数であるといいます。
2. 比例と反比例
比例
\[ y = ax \quad (a \neq 0) \]
グラフは原点を通る直線。aを比例定数といいます。
反比例
\[ y = \frac{a}{x} \quad (a \neq 0, x \neq 0) \]
グラフは原点に対して対称な双曲線（なめらかな曲線）です。
3. 一次関数
\[ y = ax + b \]
- a（傾き）：xが1増えるとyがa増える。aが正 → 右上がり、aが負 → 右下がり
- b（切片）：グラフがy軸と交わる点のy座標 \((0, b)\)
例：\(y = 2x + 3\) のグラフ
傾き2（xが1増えるとyが2増える）、y切片3（点(0,3)を通る）
2点を求めてグラフを描く：x=0→y=3、x=2→y=7 → (0,3)と(2,7)を結ぶ直線
2点から一次関数の式を求める
例：2点(1, 3)と(3, 7)を通る一次関数
傾き \(a = \dfrac{7-3}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2\)
\(y = 2x + b\) に (1,3) を代入：\(3 = 2 + b \Rightarrow b = 1\)
式：\(y = 2x + 1\)
\(y = 2x + b\) に (1,3) を代入：\(3 = 2 + b \Rightarrow b = 1\)
式：\(y = 2x + 1\)
4. 二次関数 共通テスト
\[ y = ax^2 \quad (a \neq 0) \]
グラフは放物線（パラボラ）。a > 0 → 上に開く、a < 0 → 下に開く。頂点は原点(0,0)。
一般形 共通テスト
\[ y = ax^2 + bx + c \]
頂点の座標：\(\left(-\dfrac{b}{2a},\ c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\)
例：\(y = x^2 - 4x + 3\) の頂点と軸
\(y = (x-2)^2 - 1\)（平方完成）
頂点：\((2, -1)\)、軸：\(x = 2\)
頂点：\((2, -1)\)、軸：\(x = 2\)
5. 練習問題
- \(y = 3x - 2\) でx = 4のときのyの値を求めなさい。
- 2点(0, 1)と(2, 5)を通る一次関数の式を求めなさい。
- \(y = 2x^2\) でx = -3のときのyの値を求めなさい。
- \(y = x^2 - 6x + 8\) の頂点の座標を求めなさい。
答え
- \(y = 3 \times 4 - 2 = 10\)
- 傾き = \(\dfrac{5-1}{2-0} = 2\)、y切片=1 → \(y = 2x + 1\)
- \(y = 2 \times 9 = 18\)
- \(y = (x-3)^2 - 1\) → 頂点 \((3, -1)\)
試験直前 5分チェックリスト
- 定義域・値域・終域の区別（値域⊆終域）を確認する
- 合成関数 (f∘g)(x)＝f(g(x)) の順序を確認する
- 逆関数の存在条件は全単射であることを確認する
- 垂直線テストで関数かどうか判定できる
エビングハウス忘却曲線に基づく復習
学んだ内容を長期記憶に定着させるには、間隔を空けて繰り返し復習しましょう。
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