📐 三角関数の完全解説
先に学ぶこと
- 直角三角形・ピタゴラスの定理の理解
- 関数の概念の理解
1. 三角比の定義
直角三角形において、斜辺と各辺の比を三角比といいます。
\[ \sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} \]
重要な関係式： \[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
重要な関係式： \[ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \]
2. 代表的な角度の三角比
| 角度θ | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) |
| 45° | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 |
| 60° | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
| 90° | 1 | 0 | 定義なし |
3. 加法定理
🏛 概念の誕生
三角法はギリシャの天文学者ヒッパルコス（紀元前150年頃）が星の位置測定のために体系化しました。インドの数学者アリヤバータ（499年）は初めてサインの表を作成。加法定理は中世イスラム数学者アブ・アル＝ワファ（10世紀）が体系化しました。三角関数の記号 sin・cos・tan は17～18世紀に標準化されました。
\[ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \]
\[ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \]
\[ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} \]
例：\(\sin 75° = \sin(45° + 30°)\)
\(= \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30°\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
\(= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\)
\(= \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
❌ よくある間違い — 加法定理の誤適用
\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha + \sin\beta\) と分配法則を使う
\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) — 加法定理を使う
三角関数は線形ではありません。\(\sin(30°+60°) = \sin 90° = 1\) ですが、\(\sin 30° + \sin 60° = 0.5 + 0.866 = 1.366 \neq 1\)。
4. 正弦定理と余弦定理
正弦定理 共通テスト
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
a,b,c：辺の長さ、A,B,C：対角、R：外接円の半径
余弦定理 共通テスト
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \]
例：b=5, c=7, A=60°のとき辺aを求める
\(a^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \dfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39\)
\(a = \sqrt{39}\)
\(a = \sqrt{39}\)
5. 練習問題
- \(\sin 30° + \cos 60°\) の値を求めなさい。
- \(\cos 120°\) の値を求めなさい（加法定理を使って）。
- 三角形ABC で a=8, b=5, C=60°のとき、辺cを求めなさい。
答え
- \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\)
- \(\cos(90°+30°) = -\sin 30° = -\dfrac{1}{2}\)
- \(c^2 = 64+25-2\times8\times5\times\dfrac{1}{2} = 89-40=49 \Rightarrow c=7\)
🔓 マスターするとアンロックされます
物理学（波動·振動） — 音・光・電磁波の解析
三角関数の微分 — sin x の導関数 = cos x
三角関数は波動・振動・回転の言語です。数学シリーズの最後の単元をマスターした今、物理・工学・音楽理論の全分野への扉が開きます。
試験直前 5分チェックリスト
- sin²θ＋cos²θ＝1 の基本恒等式を確認する
- 各象限の符号（第2象限: sinのみ正）を確認する
- 正弦定理 a/sinA＝2R を確認する
- 余弦定理 c²＝a²＋b²−2ab·cosC を確認する
エビングハウス忘却曲線に基づく復習
学んだ内容を長期記憶に定着させるには、間隔を空けて繰り返し復習しましょう。
翌日
3日後
1週間後
1か月後