🔤 方程式の完全解説
先に学ぶこと
- 四則演算の理解
- 基礎代数（文字式）の理解
1. 方程式とは
方程式は文字（変数）を含む等式で、特定の値のときだけ成り立ちます。その値を方程式の解（かい）といい、解を求めることを解くといいます。
2. 一次方程式
文字が1乗の方程式です。等式の性質を使って文字を一方に集めて解きます。
等式の性質
- 両辺に同じ数をたしても等式は成り立つ
- 両辺から同じ数をひいても等式は成り立つ
- 両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ
- 両辺を同じ数（0以外）でわっても等式は成り立つ
例題：3x ＋ 7 ＝ 16 を解く
3x ＝ 16 ー 7 ＝ 9
x ＝ 9 ÷ 3 ＝ 3
確認：3 × 3 ＋ 7 ＝ 9 ＋ 7 ＝ 16 ✓
x ＝ 9 ÷ 3 ＝ 3
確認：3 × 3 ＋ 7 ＝ 9 ＋ 7 ＝ 16 ✓
例題：5(x ー 2) ＝ 3x ＋ 4 を解く
5x ー 10 ＝ 3x ＋ 4
5x ー 3x ＝ 4 ＋ 10
2x ＝ 14
x ＝ 7
5x ー 3x ＝ 4 ＋ 10
2x ＝ 14
x ＝ 7
3. 連立方程式
2つ以上の方程式を同時に満たす値を求める問題です。代入法と加減法があります。
加減法（加法・減法）
例題： \(\begin{cases}2x + y = 7 \\ x - y = 2\end{cases}\) を解く
2つの式を足す：\((2x + y) + (x - y) = 7 + 2\)
\(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
x = 3 を代入：\(3 - y = 2 \Rightarrow y = 1\)
解：\(x = 3, \; y = 1\)
\(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
x = 3 を代入：\(3 - y = 2 \Rightarrow y = 1\)
解：\(x = 3, \; y = 1\)
代入法
例題： \(\begin{cases}y = 2x - 1 \\ 3x + 2y = 13\end{cases}\) を解く
1式を2式に代入：\(3x + 2(2x - 1) = 13\)
\(3x + 4x - 2 = 13\)
\(7x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{15}{7}\)... ← 計算例として
実際：\(3x + 4x = 15 \Rightarrow 7x = 15\)、\(x = \dfrac{15}{7}\) ← 別の例を使います
別の例： \(\begin{cases}y = x + 1 \\ 2x + y = 7\end{cases}\)
代入：\(2x + (x+1) = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
\(y = 2 + 1 = 3\)
\(3x + 4x - 2 = 13\)
\(7x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{15}{7}\)... ← 計算例として
実際：\(3x + 4x = 15 \Rightarrow 7x = 15\)、\(x = \dfrac{15}{7}\) ← 別の例を使います
別の例： \(\begin{cases}y = x + 1 \\ 2x + y = 7\end{cases}\)
代入：\(2x + (x+1) = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)
\(y = 2 + 1 = 3\)
4. 二次方程式 共通テスト
文字の最高次数が2の方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) です。
因数分解による解法
例：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\((x - 2)(x - 3) = 0\)
\(x = 2\) または \(x = 3\)
\(x = 2\) または \(x = 3\)
解の公式 共通テスト
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
例：\(2x^2 - 3x - 2 = 0\)（a=2, b=-3, c=-2）
\(x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \dfrac{3 \pm 5}{4}\)
\(x = 2\) または \(x = -\dfrac{1}{2}\)
\(x = 2\) または \(x = -\dfrac{1}{2}\)
判別式 D = b² - 4ac
- D > 0 → 異なる2つの実数解
- D = 0 → 1つの実数解（重解）
- D < 0 → 実数解なし（虚数解）
5. 練習問題
- \(4x - 3 = 13\) を解きなさい。
- \(\begin{cases}x + 2y = 8 \\ x - y = 2\end{cases}\) を解きなさい。
- \(x^2 - 7x + 12 = 0\) を解きなさい。
- 解の公式を使って \(x^2 + 4x - 5 = 0\) を解きなさい。
答え
- \(x = 4\)
- \(x = 4, y = 2\)
- \((x-3)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 3\) または \(x = 4\)
- \(x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16+20}}{2} = \dfrac{-4 \pm 6}{2} \Rightarrow x = 1\) または \(x = -5\)
試験直前 5分チェックリスト
- 移項すると符号が逆になることを確認する
- 解の公式: x＝(−b±√(b²−4ac))/2a を正確に適用する
- 判別式D: D>0 異なる2実解、D＝0 重解、D<0 実数解なし を確認する
- 因数分解できるなら公式より速いことを覚えておく
エビングハウス忘却曲線に基づく復習
学んだ内容を長期記憶に定着させるには、間隔を空けて繰り返し復習しましょう。
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3日後
1週間後
1か月後